柯西不等式：柯西不等式积分、一般形式-高考100

本期高考100小编将介绍柯西不等式的表述形式，如柯西不等式的复数形式、积分形式、一般形式等，还包括柯西不等式的推导证明、柯西不等式的推广及应用等。

一、不等式表述

柯西不等式有着众多的表述形式，例如：一般形式、复数形式、积分形式等。

一般形式

设是正整数且 $x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n\in\mathbb{R}$ ，则有： $\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^ny_i^2\right)\ge\left(\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i\right)^2$ ，当且仅当 $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\ldots=\frac{x_n}{y_n}$ 时取到等号。

复数形式

设 $n\ge2$ 是正整数且 $z_1,z_2,\ldots,z_n,w_1,w_2,\ldots,w_n\in\mathbb{C}$ ，则有： $\left(\sum\limits_{k=1}^n|z_k|^2\right)\left(\sum\limits_{k=1}^n|w_k|^2\right)\ge\left|\sum\limits_{i=1}^nz_k\overline{w_k}\right|^2$ .

积分形式

设 $f,g$ 是区间 $[a,b]$ 上的可积函数，则有： $\left(\int_a^bf^2\!(x)\,\mathrm{d}x\right)\left(\int_a^bg^2\!(x)\,\mathrm{d}x\right)\ge\left(\int_a^bf(x)g(x)\,\mathrm{d}x\right)^2$ .

概率论形式

设 $X,Y$ 是两个随机变量，则有： $\mathrm{E}(X^2)+\mathrm{E}(Y^2)\ge|\mathrm{E}(XY)|^2$ .

二、推导证明

这里给出一般形式的若干种证法：

证法一

记 $f_i(t)=\left(x_it+y_i\right)^2,1\le i\le n$ . 则关于 $t$ 的二次函数 $f(t)=\sum\limits_{i=1}^nf_i(t)\ge0$ . 因此，其判别式 $\Delta=4\left(\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i\right)^2-4\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^ny_i^2\right)\le0$ . 化简后即为柯西不等式。

证法二

由拉格朗日恒等式, $\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i^2\right) \!\left(\sum\limits_{i=1}^ny_i^2\right)\!-\!\left(\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i\right)^2=\sum\limits_{1\le i<j\le n}(x_iy_j\!-\!x_jy_i)^2\!\ge\!0$ .^[3]

证法三

由齐次性，可不妨设 $\sum\limits_{i=1}^nx_i^2=\sum\limits_{i=1}^ny_i^2=1$ , 则： $\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i\le\sum\limits_{i=1}^n\frac{x_i^2+y_i^2}{2}=1$ , 对该式平方后即可得到原不等式。

证法四

对 $n$ 归纳证明该不等式成立. 易知 $n=2$ 时不等式成立. 若 $n=k$ 时不等式成立，则 $n=k+1$ 时： $\left(\sum\limits_{i=1}^{k+1}x_i^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{k+1}y_i^2\right)\ge\left(\sqrt{\left(\sum\limits_{i=1}^kx_i^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^ky_i^2\right)}+x_{k+1}y_{k+1}\right)^2\ge\left(\sum\limits_{i=1}^{k+1}x_iy_i\right)^2$ 因此该不等式成立。

三、柯西不等式的推广

赫尔德不等式

设 $n\ge2$ 是正整数且 $x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n\in\mathbb{R}$ ，设 $p/>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 则有： $\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i^p\right)^{\!\frac{1}{p}}\left(\sum\limits_{i=1}^ny_i^q\right)^{\!\frac{1}{q}}\ge\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i$ .^[2]

卡尔松不等式

设 $m,n\!\ge\!2$ 是正整数且 $x_{i,j}\!\in\!\mathbb{R},1\!\le\! i,j\!\le \!n$ 则有: $\prod_{i=1}^m\!\left(\sum_{j=1}^nx_{i,j}\right)^{\!\frac{1}{m}}\!\ge\!\sum_{i=1}^n\!\left(\prod_{j=1}^mx_{i,j}\right)^{\!\frac{1}{m}}$ . 当且仅当 $\frac{x_{i,1}}{x_{i+1,1}}=\frac{x_{i,2}}{x_{i+1,2}}=\ldots=\frac{x_{i,m}}{x_{i+1,m}}$ 时取到等号.^[4]

四、柯西不等式的应用

利用柯西不等式可以解决很多不等式问题，例如Nesbitt不等式：

设 $x,y,z$ 是正实数，则： $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{3}{2}$ .^[3]

证明：由柯西不等式 $\left(\frac{x}{y+z}\!+\!\frac{y}{z+x}\!+\!\frac{z}{x+y}\right)\!\left(x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)\right)\ge\left(x+y+z\right)^2$ , 因此 $\mathrm{L.H.S.}\ge\frac{(x+y+z) ^2}{2(xy+yz+zx)}\ge\frac{3(xy+yz+zx) }{2(xy+yz+zx)}=\frac{3}{2}$ .