1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设
，则
A．
B．
C．
D．
2．已知集合
，则
A．
B．
C．
D．
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记
为等差数列
的前
项和.若
，
，则
.若
为奇函数，则曲线
在点
处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
6．在
中，
为
边上的中线，
为
的中点，则
A．
B．
C．
D．
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点
在正视图上的对应点为
，圆柱表面上的点
在左视图上的对应点为
，则在此圆柱侧面上，从
到
的路径中，最短路径的长度为
A．
B．
C．3 D．2
8．设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为
的直线与C交于M，N两点，则
=
A．5 B．6 C．7 D．8
9．已知函数
．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．
的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则
A．p1=p2 B．p1=p3
C．p2=p3 D．p1=p2+p3
11．已知双曲线C：
，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若
为直角三角形，则|MN|=
A．
B．3 C．
D．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若
，
满足约束条件
，则
的最大值为_____________．
14．记
为数列
的前
项和.若
，则
_____________．
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
16．已知函数
，则
的最小值是_____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）
在平面四边形
中，
，
，
，
.
（1）求
；
（2）若
，求
.
18．（12分）
如图，四边形
为正方形，
分别为
的中点，以
为折痕把
折起，使
点到达
点的位置，且
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求
与平面
所成角的正弦值.
19．（12分）
设椭圆
的右焦点为
，过
的直线
与
交于
两点，点
的坐标为
.
（1）当
与
轴垂直时，求直线
的方程；
（2）设
为坐标原点，证明：
.
20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为
，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为
,求
的最大值点
．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的
作为
的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
，求
;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（12分）
已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
存在两个极值点
，证明：
．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
中，曲线
的方程为
.以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求
的直角坐标方程；
（2）若
与
有且仅有三个公共点，求的
方程.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知
.
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
时不等式
成立，求
的取值范围.
参考答案：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| C | B | A | B | D | A | B | D | C | A | B | A |
13.6 14. -63 15.16 16.
17.（12分）
解：（1）在
中，由正弦定理得
.
由题设知，
，所以
.
由题设知，
，所以
.
（2）由题设及（1）知，
.
在
中，由余弦定理得
.
所以
.
18.（12分）
解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又
平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，
的方向为y轴正方向，
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.
由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=
.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.
可得
.
则
为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为
，则
.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为
.
19.（12分）
解：（1）由已知得
，l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为
或
.
所以AM的方程为
或
.
（2）当l与x轴重合时，
.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以
.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为
，
，
则
，直线MA，MB的斜率之和为
.
由
得
.
将
代入
得
.
所以，
.
则
.
从而
，故MA，MB的倾斜角互补，所以
.
综上，
.
20.（12分）
解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为
.因此
.
令
，得
.当时
，
；当时
，
.
所以
的最大值点为
.
（2）由（1）知，
.
（i）令
表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知
，
，即
.
所以
.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于
，故应该对余下的产品作检验.
21.（12分）
解:（1）
的定义域为
，
.
（i）若
，则
，当且仅当
，
时
，所以
在
单调递减.
（ii）若
，令
得
，或
.
当
时，
；
当
时，
.所以
在
单调递减，在
单调递增.
（2）由（1）知，
存在两个极值点当且仅当
.
由于
的两个极值点
满足
，所以
，不妨设
，则
.由于
，
所以
等价于
.
设函数
，由（1）知，
在
单调递减，又
，从而当
时，
.
所以
，即
.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
解:（1）由
，
得
的直角坐标方程为
．
（2）由（1）知
是圆心为
，半径为
的圆由题设知，
是过点
且关于
轴对称的两条射线．记
轴右边的射线为
，
轴左边的射线为
．由于
在圆
的外面，故
与
有且仅有三个公共点等价于
与
只有一个公共点且
与
有两个公共点，或
与
只有一个公共点且
与
有两个公共点．
当
与
只有一个公共点时，
到
所在直线的距离为
，所以
，故
或
．
经检验，当
时，
与
没有公共点；当
时，
与
只有一个公共点，
与
有两个公共点．
当
与
只有一个公共点时，
到
所在直线的距离为
，所以
，故
或
．
经检验，当
时，
与
没有公共点；当
时，
与
没有公共点．
综上，所求
的方程为
．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
解：（1）当
时，
，即
故不等式
的解集为
．
（2）当
时
成立等价于当
时
成立．
若
，则当
时
；
若
，
的解集为
，所以
，故
．
综上，
的取值范围为
.